垂线（2）——相交线与平行线（4）——尖子生之路[七下系列]
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垂线（2）
——相交线与平行线（4）
【例题】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
(1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数(用含α的式子表示)；
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
【分析】第(1)(2)两问，均属于同一个问题.根据“平角的定义”可得∠AOF＝1800－∠AOE，又由“角平分线的性质”得∠FOC＝0.5∠AOF；再根据“对顶角相等”得∠EOD=∠FOC；由“垂直的定义”得到∠AOB＝900，同时由“角的和差计算”得：∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，进一步得到：∠BOD=∠EOD﹣∠BOE.如下图示：
再根据上述结果不难找出它们之间的倍数关系．
【详细解答过程】
（1）∵∠AOE+∠AOF=180°
（邻补角的定义），
∴∠AOF=180°－∠AOE，
＝1800－400＝140°．
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=0.5∠AOF=70°．
∴∠EOD=∠FOC=70°
（对顶角相等）；
又∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；
（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，
（邻补角的定义）
∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α．
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α．
∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α
（对顶角相等）；
又∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α；
（3）从（1）（2）的结果中不难观察出∠AOE=2∠BOD．
【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规范.
【练习】O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．
图1
（1）如图（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；
（2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数；
（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立．
图2
【解答过程】
（1）∵EO是∠AOB的平分线，
∠AOB=130°，
∴∠AOE＝0.5∠AOB＝650.
∵OB⊥OF，∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF
=130°﹣90°=40°，
∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF
=65°﹣40°=25°；
（2）∵∠AOB=α，90°＜α＜180°，
EO是∠AOB的平分线，
∴∠AOE=0.5∠AOB＝0.5α，
∵∠BOF=90°，∴∠AOF=α﹣90°，
∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF
=0.5α﹣（α﹣90°）
=900－0.5α；
（3）如下图示，
∵∠AOB=α，0°＜α＜90°，
∴∠BOE=∠AOE=0.5α，
∵∠BOF=90°，
∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE
=900－0.5α．
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